通过解空间的同源扰动加速非线性时序偏微分方程的数据生成
机器学习
2026-03-03 v3
摘要
数据驱动的深度学习方法，如神经算子，已在求解非线性时序偏微分方程（PDE）中取得进展。然而，这些方法需要大量解对数据——解函数及方程右端项（RHS）。这些数据通常通过传统数值方法生成，需要数千次时间步迭代远多于训练所需的几十次，造成巨大的计算和时间开销。为此，我们提出一种新型数据生成算法，称为同源解空间扰动生成算法（HOmologous Perturbation in Solution Space, HOPSS），直接生成较少时间步的数据，而非遵循传统方法生成大时间步数据集。该算法在加速数据生成和保持模型训练所需近似精度方面实现了双重目标。具体而言，我们首先从可靠求解器获取一组基解函数，通常包含数千个时间步，然后通过下采样将其与训练数据集对齐。随后，我们提出“同源扰动”方法：通过将两个解函数（一个作为主函数，另一个作为比例缩放的小标量扰动项）与随机噪声组合，高效生成与之相当的精度的 PDE 数据点。最后，使用这些数据点计算原始方程 RHS 的变化，以形成新的解对。理论与实验结果表明，HOPSS降低了时间复杂度。例如，在纳维尔斯托克斯方程上，仅用约10%的传统方法时间即可生成10,000个样本，且在模型训练性能方面表现相当。
引用
@article{arxiv.2510.21592,
title = {Accelerating Data Generation for Nonlinear temporal PDEs via homologous perturbation in solution space},
author = {Lei Liu and Zhenxin Huang and Hong Wang and huanshuo dong and Haiyang Xin and Hongwei Zhao and Bin Li},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.21592},
year = {2026}
}