关于图上 Markov 算子的 $L^2$ 解析性

设 $\Gamma$ 为一个图，$P$ 为 $\Gamma$ 上的一个可逆随机游走。从 Markov 算子 $P$ 的 $L^2$ 解析性，我们推导出 $P$ 的奇数次幂迭代是“惰性”的，即存在一个整数 $k$，使得（对于随机游走 $P^{2k+1}$）从顶点 $x$ 到其自身的转移概率具有一致的下界。该证明不需要 $\Gamma$ 上的倍增性质，而只需要体积的多项式控制。