量子Fisher信息的体积不等式与不确定性原理

令 $A_1,...,A_N$ 为复自伴矩阵，$\rho$ 为密度矩阵。Robertson 不确定性原理 $$det(Cov_\rho(A_h,A_j)) \geq det(- \frac{i}{2} Tr(\rho [A_h,A_j]))$$ 利用对易子 $[A_h,A_j]$ 给出了量子广义协方差的界。右侧矩阵是反对称的，因此在奇数情形 $N=2m+1$ 中该界是平凡的（等于零）。令 $f$ 为任意归一化对称算子单调函数，$<\cdot, \cdot >_{\rho,f}$ 为相关的量子 Fisher 信息。在本文中，我们猜想不等式 $$det (Cov_\rho(A_h,A_j)) \geq det (\frac{f(0)}{2} < i[\rho, A_h],i[\rho,A_j] >_{\rho,f})$$ 利用对易子 $i[\rho, A_h]$ 给出了对任意自然数 $N$ 的非平凡界。经过多位作者的共同努力，该不等式在 $N=1,2$ 的情形下已被证明。在本文中，我们证明了实矩阵情形下的 $N=3$ 情况。