适用于任意边界条件的 Bravyi-Terhal 界变体

我们提出了 Bravyi-Terhal 界的一个修改版本，该版本适用于由 $D$ 维格商上的局部奇偶校验约束定义的量子码。具体来说，我们考虑一个基数为 $n$ 的 $\mathbb{Z}^D$ 的商 $\mathbb{Z}^D/\Lambda$，其中 $\Lambda$ 是 $\mathbb{Z}^D$ 的某个 $D$ 维子格：我们假设该商的每个顶点索引了一个稳定子码 $C$ 的 $m$ 个量子比特，因此该码的长度为 $nm$。我们证明，如果所有稳定子生成元都作用于索引位于半径为 $\rho$ 的球内的量子比特，那么只要 $n^{1/D} \geq 8\rho\sqrt{\gamma_D}$，该码的最小距离 $d$ 就满足 $d \leq m\sqrt{\gamma_D}(\sqrt{D} + 4\rho)n^\frac{D-1}{D}$，其中 $\gamma_D$ 是 $D$ 维埃尔米特常数。我们应用此界推导出阿贝尔双块群代数（2BGA）码最小距离的上界，该码的奇偶校验矩阵具有 $[\mathbf{A} \, \vert \, \mathbf{B}]$ 的形式，且每个子矩阵代表有限阿贝尔群上的一个群代数元素。