空间中量子信息存储的极限

我们通过推导近似量子纠错码的权衡边界，研究了在量子比特晶格中可靠存储量子信息的根本极限。我们引入了局部近似可纠正性与码距的概念，并给出了其若干等价表述，推广了各种精确纠错准则。我们的权衡边界关联了物理量子比特数 $n$、编码量子比特数 $k$、码距 $d$、量化擦除信道可被反转程度的精度参数 $\delta$，以及指定恢复操作可执行长度尺度的局域性参数 $\ell$。在恢复以精度 $\epsilon$ 成功且 $\epsilon$ 随 $\ell$ 指数小的 regime 下（局部对易投影算符码的扰动即属此情况），对于欧几里得度量的 $D$ 维晶格上的码，我们的边界为 $kd^{\frac{2}{D-1}} \le O\bigl(n (\log n)^{\frac{2D}{D-1}} \bigr)$。我们还发现，若 $\delta \le O(\ell n^{-1/D})$，则任何局部近似码的码距不能超过 $O\bigl(\ell n^{(D-1)/D}\bigr)$。作为我们用逻辑算符规避来表述可纠正性的推论，我们证明了码距 $d$ 与能支撑所有近似逻辑算符的最小区域尺寸 $\tilde d$ 满足 $\tilde d d^{\frac{1}{D-1}}\le O\bigl( n \ell^{\frac{D}{D-1}} \bigr)$，其中逻辑算符在算符范数下精确到 $O\bigl( ( n \delta / d )^{1/2}\bigr)$。最后，我们证明对于二维系统，若逻辑算符可由支撑在常宽柔性弦上的算符近似，则码空间的维度必有界。这支持了代数任意子理论的一个假设，即只存在有限多种任意子类型。