均匀球形山羊（问题）：同源坍缩径向时间演化的显式解

均匀密度球在其自引力下从静止开始的同源坍缩，是从恒星到星系等天体形成动力学的著名玩具模型。同样众所周知的是，由于微分方程解的超越性质，半径随时间的演化无法显式求出。相反，半径与时间都以发展角 $\theta$ 为参数写出。我们在此利用近期应用于数学上类似的“几何山羊问题”的复分析方法，给出半径作为时间函数的显式积分解。我们的解可使用快速傅里叶变换高效求值，并允许在时间上任意采样，其简单的 Python 实现比使用数值求根实现任意采样快约 $100\times$。我们的显式解相对于通常先生成 $\theta$ 均匀网格的方法具有优势，因为后者会导致非均匀的半径或时间采样，对如子网格物理模型生成等应用用处较小。