面向奇异扰动偏微分方程边界层问题的统一加权损失物理信息神经网络
数值分析
2026-04-01 v1 数值分析
摘要
奇异扰动偏微分方程在许多应用中出现，包括磁流体动力学导流、化学反应传递系统以及泊松-布尔斯电离体。这些问题以锐利的边界层和显著的多尺度行为为特征，对数值方法提出了重大挑战。现有方法，特别是基于机器学习的方法，常常依赖于显式的渐近分解或专用网络结构，增加了实现复杂度，并在僵硬 regimes 中导致优化失衡。在本工作中，我们提出了一种基于标准物理信息神经网络设置中的加权损失 formulation 的统一学习框架。该方法仅需要边界层厚度的先验知识，而边界层位置在训练期间自动识别。 resulting 的 formulation 避免了特定于问题的网络结构修改，并且适用于不同类型的方程。在标量和耦合反应扩散/扩散-反应-扩散系统上进行的数值实验，定义在规则和不规则域上，展示了对边界层厚度可达 时仍保持高解算力的稳健性能。
引用
@article{arxiv.2603.29249,
title = {A Unified Weighted-Loss Physics-Informed Neural Network for Boundary Layer Problems in Singularly Perturbed PDEs},
author = {Wei-Fan Hu and Shi-Xiang Zhong and Po-Wen Hsieh and Chung-Kai Chen and Te-Sheng Lin},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.29249},
year = {2026}
}