调和分析中三个主题的统一处理方法（第一部分）

在本文及其续篇“调和分析中三个主题的统一处理方法（第二部分）”中，我们探讨了调和分析中三个历史悠久、根本上依赖于非零曲率概念的主题。具体而言，我们关注以下算子的有界性：（I）沿变量曲线的线性 Hilbert 变换与极大算子，（II）存在曲率时的 Carleson 型算子，以及（III）沿变量曲线的双线性 Hilbert 变换与极大算子。我们的主定理指出，给定平面上一般的变量曲线 $\gamma(x,t)$，仅假设其在 $x$ 上可测并满足适当的非零曲率（关于 $t$）与非退化条件，则沿该曲线 $\gamma$ 定义的所有上述算子均为 $L^p$-有界的，其中 $1<p<\infty$。我们的结果为这三个主题提供了新颖且统一的处理，并在主题（I）与（III）中建立了针对奇异积分与极大算子版本的单一方法。我们方法的核心是一种包含三个关键要素的方法论：1）乘子侧的离散化，将乘子的相位限制于\emph{线性}层级振荡；2）输入函数（们）的\emph{Gabor}框架离散化；3）通过 $TT^{*}-$正交性方法与时间频率\emph{相关}提取隐藏于 $\gamma$ 非零曲率中的\emph{相消}。