关于 $\mathbb{F}_p^3$ 中无直线集合的超线性改进

基于作者与 Elsholtz、F"uhrer、F"uredi、Pach、Simon 和 Velich 之前的工作结果，本文给出了 $\mathbb{F}_p^3$ 中无直线集合的一个改进构造，证明当 $p\to \infty$ 时，有 $r_p(\mathbb{F}_p^3)\ge (p-1)^3+\frac{1}{8} p^{3/2} - O(p)$。这结果在标准超立方体构造 $\{0,1,\ldots,p-2\}^3$ 上实现了首次超线性项的改进。取本集合的补集后，我们也得到了仿射几何 $\mathrm{AG}(3,p)$ 中最小 $2$-阻塞集大小的新上界为 $3p^2-\frac{1}{8}p^{3/2}+O(p)$。