基于簇理论的丢番图方程研究

在本文中，我们主要回答了 Lampe 关于一个丢番图方程解的疑问\cite{lampe}，即我们给出了一个判别准则，用以确定该丢番图方程的哪些解位于由簇代数的突变所定义的群 $G$ 作用下的初始解 $(\epsilon,\epsilon,\epsilon, \epsilon,\epsilon)$ 的轨道中。为此，我们利用有理映射 $\varphi$，将该丢番图方程转化为一个相关方程，其所有正整数解在群 $\widetilde{G}$ 作用下构成初始解 $\varphi(\epsilon,\epsilon,\epsilon, \epsilon,\epsilon) = (3,4,4)$ 的轨道，并且集合 $S(3,4,4)$ 被证明是 $(\epsilon,\epsilon,\epsilon, \epsilon,\epsilon)$ 在 $G$ 的某个子群作用下的轨道。随后该判别准则作为主要结论被证明。