基于秘书问题的斯塔克伯格博弈：最优响应取决于历史

本文考察了源自经典秘书问题的两人博弈问题。首先，玩家 1 按照秘书问题的方式从序列中选择一个对象。随后，其他所有对象以相同顺序呈现给玩家 2。两位玩家的目标都是选择最佳对象。玩家 2 的最优响应适用于秘书问题中的最优策略。这意味着，当玩家 2 发现当前对象是迄今为止最佳的时，可以推断玩家 1 是否选择了序列中更早出现的某个对象。然而，玩家 2 无法将当前对象与由玩家 1 选择的对象进行比较。因此，该博弈定义了一个辅助问题，其中玩家 2 对对象相对排名缺乏完整信息。证明了玩家 2 的最优策略基于对象出现的次数以及当前对象优于由玩家 1 选择的对象（若玩家 1 在序列中选择了更早的对象）的概率。然而，这一概率取决于之前观察到的对象。在辅助问题中，限制玩家 2 记忆力后，可得到对最优预期奖励的下界。通过在适当时机向玩家 2 提供额外信息，可导出上界。本文中使用的方法揭示了在对象排名信息不完整且/或最优策略取决于历史（如 Robbins 问题）时，如何近似最优奖励的途径。