稳定化切割间断 Galerkin 框架：I. 椭圆边值与界面问题

我们开发了一个稳定化切割间断 Galerkin 框架，用于在复杂区域上数值求解椭圆边值和界面问题。感兴趣的区域被嵌入到 $R^d$ 中的结构化非拟合背景网格中，使得边界或界面可以以任意方式穿过它。该方法基于经典对称内罚方法的一种非拟合变体，使用定义在背景网格上的分段间断多项式。我们没有使用先前引入的非拟合间断 Galerkin 方法中常用的单元聚合技术，而是采用并扩展了最近开发的连续切割有限元方法中的幽灵惩罚技术，这使得现有的拟合间断 Galerkin 软件能够以最小的扩展来处理非拟合几何。通过确定幽灵惩罚的四个抽象假设，我们推导出了 Poisson 边值问题的几何鲁棒的先验误差和条件数估计，这些估计与特定切割构型无关。讨论了合适幽灵惩罚的可能实现。我们还演示了如何将该框架优雅地应用于离散高对比度界面问题。通过各种近似阶数以及二维和三维测试问题的多次数值实验验证了理论结果。