集合不相交性的一则简单证明及其在数据流中的应用

多方承诺集合不相交性是通信复杂性中应用于最广泛的问题之一。在该问题中，有 $k$ 个玩家，分别拥有子集 $S^1, \ldots, S^k$，均取自 $\{1, 2, \ldots, n\}$，并且我们承诺这些集合要么（1）两两不相交，要么（2）存在一个唯一元素 $j$ 出现在所有集合中，而其他集合两两不相交。在黑板模型中以常数概率解决该问题的总通信量为 $\Omega(n/k)$。我们观察到，对大多数应用而言，转而考察我们所称的“大多”集合不相交问题已足够，该问题将情形（2）改为存在一个唯一元素 $j$ 出现在至少一半的集合中，且其余集合互不相交。这一改动使我们得到了 $\Omega(n/k)$ 随机总通信下界的远为简单的证明，避免了 Hellinger 距离与 Poincare 不等式。利用此结果，我们展示了数据流方面的若干新结论：\begin{itemize} \item 对于 $\ell_2$-Heavy Hitters，在仅插入模型中检测是否存在 $\eps$-$\ell_2$-重命中者（heavy hitter）的任何 $O(1)$ 遍流算法需要 $\min(\frac{1}{\eps^2}\log \frac{\eps^2n}{\delta}, \frac{1}{\eps}n^{1/2})$ 位内存，该结果在 $\log n$ 因子内是最优的。对于确定性算法和常数 $\eps$，这给出了 $\Omega(n^{1/2})$ 下界，改进了先前的 $\Omega(\log n)$ 下界。我们还获得了 Zipf 分布下的下界。\item 对于 $\ell_p$-估计，$p > 2$，我们展示了在仅插入模型中以概率 $1-\delta$ 输出 $O(1)$ 近似的 $O(1)$ 遍 $\Omega(n^{1-2/p} \log(1/\delta))$ 位下界。这是最优的，而先前最佳下界为 $\Omega(n^{1-2/p} + \log(1/\delta))$。\end{itemize}