弹簧秤硬币称重问题的一种简单高效策略

本文考虑弹簧秤硬币称重问题的一个广义版本,该问题处于群体测试与压缩感知问题的交叉点。给定$n\geq 2$枚硬币,其总重量为$d$(已知整数$d$),每枚硬币的重量为$\{0,1,\dots,k\}$(已知整数$k\geq 1$)中的未知整数,问题是通过在弹簧秤上称量硬币子集来确定每枚硬币的重量。目标是最小化所有可能重量配置下的平均称量次数。对于$d=k=1$,已知自适应对分称量策略是最优的。然而,即便是$d=k=2$这一该问题最简单的非平凡情形,至今仍是开放的。针对此情形,我们提出并分析了一种简单有效的自适应称量策略。对所提策略分析推导出的精确递归公式的数值评估表明,该策略平均约需${1.365\log_2 n -0.5}$次称量。据我们所知,这是$d=k=2$情形下最小期望所需称量次数的首个非平凡可达上界。当$n$无界增长时,与常用嵌套策略类中的最优策略相比,所提策略平均所需称量次数减少约$31.75\%$;而与信息论下界相比,其平均至多多需约$8.16\%$的称量次数。