一个其完全平方数不构成可测回归集的 2-回归集

我们说 $S\subset\mathbb Z$ 是一个 $k$-回归集，如果对于概率测度空间 $(X,\mu)$ 的每一个保测变换 $T$ 以及每一个 $A\subseteq X$ 且 $\mu(A)>0$，存在 $n\in S$ 使得 $\mu(A\cap T^{-n} A\cap T^{-2n}\cap \dots \cap T^{-kn}A)>0$。$1$-回归集称为可测回归集。作为对 Frantzikinakis、Lesigne 和 Wierdl 问题的回答，我们构造了一个 $2$-回归集 $S$，使得 $\{n^2:n\in S\}$ 不是可测回归集。