平面中有限集或整数集的可测 Steinhaus 集不存在

对于集合 $A \subseteq \RR^d$，Steinhaus 集 $S \subseteq \RR^d$ 是指这样一个集合：对于 $\RR^d$ 的每一个刚体运动 $\tau$，$S$ 与 $\tau A$ 恰好有一个公共点。我们在此证明，如果 $A$ 是至少包含两个点的有限集，则不存在这样的 Lebesgue 可测集合 $S$。Komj\'ath 的一个旧结果表明在 $\RR^2$ 中存在针对 $A = \ZZ\times\Set{0}$ 的 Steinhaus 集。我们在此也证明这样的集合不可能是 Lebesgue 可测的。