与数位和相关的自绕曲线

对每个 $n\in N ^{\ast }$，我们构造 $s_{n}=\left( 1,\ldots ,1,0\right)$，其中包含 $n$ 个 1。对于每个 $a \in N$，我们考虑其二进制表示 $\left( a_{i}\right) _{i\in -N }$，其中 $a_{i}=0$ 当 $i$ 足够大时；我们记 $\alpha _{n}(a)$ 为满足 $( a_{i},\ldots ,a_{i+n} )=s_{n}$ 的整数 $i$ 的个数。我们考虑曲线 $C_{n}=\left( S_{n,k}\right) _{k\in N ^{\ast }}$，其中由长度为 1 的连续线段组成，使得对于每个 $k$，$S_{n,k+1}$ 通过若 $k+\alpha _{n}(k)-\alpha _{n}(k-1)$ 为偶数则向右转，否则向左转来获得。$C_{1}$ 是自绕的，因为它对应于交替折叠序列。文献 [1] 中 M. Mend\`es France 和 J. Shallit conjectured 称 $n\geq 2$ 时的曲线 $C_{n}$ 也是自绕的。在本文中，我们证明该性质对 $n=2$ 成立。我们还证明 $C_{2}$ 具有类似于文献 [2], [3] 和 [4] 中折叠曲线所显示的性质。