面向有限状态马尔可夫链应用的块幂方法再探

本文中，我们重新审视用于近似马尔可夫链转移矩阵对应于 $\lambda_1 = 1$ 的特征向量的广义块幂方法。我们对块幂方法的分析表明，当使用 $s$ 个线性独立的概率向量作为初始块时，块幂方法收敛到平稳分布取决于 $P$ 的第 $(s+1)$ 个主导特征值 $\lambda_{s+1}$ 的大小，而非幂方法中的 $\lambda_2$。因此，对于 $|\lambda_{s+1}|$ 与 $\lambda_1 = 1$ 分离良好但 $|\lambda_2|$ 未分离的转换矩阵，块大小为 $s$ 的块幂方法特别有效。当访问大型转移矩阵的元素比矩阵-向量乘法更成为主要计算瓶颈时，该方法尤为有用，块幂方法可有效减少遍历矩阵的总次数。为了进一步降低整体计算成本，我们将块幂方法与滑动窗口方案结合，利用最近 $s$ 次迭代的后续向量来组装块矩阵。滑动窗口方案使窗口内的向量相关联，以快速消除幅度小于 $|\lambda_{s}|$ 的特征值的影响，从而减少达到收敛所需的矩阵-向量乘法总次数。最后，我们在代表随机管腔钙释放位点的马尔可夫链模型中比较了这些方法的有效性。