具有低码长顺序恢复码的速率最优构造

若对于任意 $s \leq t$ 个被擦除的码符号，存在一个 $s$ 步恢复过程，其中每一步我们通过联系至多 $r$ 个其他码符号恰好恢复一个被擦除的码符号，则称该擦除码为具有参数 $r$ 和 $t$ 的顺序恢复码。在同一作者发表于 ISIT 2017 的早前工作中，我们给出了一种可从 $t$ 个擦除中顺序恢复的二进制码构造，其局部性参数为 $r$，在给定 $r,t$ 下关于码率是最优的，但码长很大，约为 $r^{c^t}$（其中某常数 $c >1$）。在本文中，我们给出了针对任意 $t$ 值和任意 $r\geq3$ 的速率最优码的另一种构造，其码长显著更小，约为 $r^{\frac{5t}{4}+\frac{7}{4}}$（某些情况下为 $r^{\frac{3t}{2}+2}$ 量级）。我们的构造基于一类围长 $t+1$ 的树状图的构造。我们递归地构造这些图并由此得到码。