探索扰动网络背后的度量结构

图与网络数据在广泛的科学和应用领域中无处不在。在实践中，输入图通常被视为某个（可能是连续的）隐藏域或过程的观测快照。随后的分析、处理和推断均在该观测图上进行。在本文中，我们提倡这样一种观点：观测图通常是某个隐藏域的离散化 1-骨架的含噪版本，并且我们具体考虑以下自然网络模型：我们假设存在一个真实图 ${G^*}$，它是从隐藏域 $\mathcal{X}$ 采样的点的某种邻近图；而观测图 $G$ 是 ${G^*}$ 的 Erd$"{o}$s-R$\'{e}$nyi 型扰动版本。我们的网络模型与 Watts 和 Strogatz 最初提出的备受赞誉的小世界网络模型相关，并对其进行了轻微推广。然而，我们旨在回答的主要问题与网络模型的常规研究（通常侧重于表征/预测真实世界网络的行为和属性）正交。具体而言，我们旨在从观测图 $G$ 中恢复 ${G^*}$ 的度量结构（如我们将展示的，该结构反映了隐藏空间 $\mathcal{X}$ 的度量结构）。我们的主要结果是，在我们的网络模型下，基于 \emph{Jaccard index} 的简单过滤过程可以在乘法因子 2 内恢复该度量。我们的工作朝着从观测到的含噪图表示中推断隐藏空间结构这一一般性问题迈出了一步。此外，我们的结果也为基于 Jaccard Index 的去噪方法提供了理论理解。