欧氏平面上 $k$ 跳 MST 的 PTAS:改进对 $k$ 的依赖性

对于任意 $\epsilon>0$,Laue 与 Matijevi\'{c} [CCCG'07, IPL'08] 给出了一个 PTAS,用于在欧氏平面上寻找 $k$ 跳 MST 问题的 $(1+\epsilon)$-近似解,其运行时间为 $(n/\epsilon)^{O(k/\epsilon)}$。在本文中,我们提出一种运行时间为 $(n/\epsilon)^{O(\log k \cdot(1/\epsilon)^2\cdot\log^2(1/\epsilon))}$ 的算法。这在指数上改进了对 $k$ 的依赖性,同时对 $\epsilon$ 的依赖性更差。与 Laue 和 Matijevi\'{c} 一样,我们遵循 Arora 为欧氏 TSP 引入的框架。我们的关键要素包括指数距离缩放与动态规划状态表的压缩。