实验设计中精确自由度的投影秩划分定理

在许多实验设计中——如裂区设计、区组或嵌套设计、分式析因设计，以及存在缺失或不等重复的研究——标准方差分析（ANOVA）程序已无法准确告诉我们每个效应真正贡献了多少独立信息。我们提供了一个通用的自由度（$\mathrm{df}$）划分定理来解决这一模糊性。对于 $N$ 个观测值，我们证明了数据中的总信息（即 $N-1$ $\mathrm{df}$）可以通过将数据投影到每个分层并计算每个效应在该分层贡献的 $\mathrm{df}$，从而在实验效应和随机化分层之间进行精确划分。这为固定与随机效应、区组结构、分式或失衡的任何组合产生了整数 $\mathrm{df}$——而非近似值。这一结果为非平衡裂区设计、行列设计、格点设计和交叉嵌套设计产生了闭式 $\mathrm{df}$ 表。我们引入了实用诊断指标——$\mathrm{df}$ 保留率 $\rho$、$\mathrm{df}$ 亏缺 $\delta$ 和方差膨胀指数 $\alpha$——以精确衡量效应在区组或分式下保留的 $\mathrm{df}$ 以及由此导致的精度损失，从而将 Box-Hunter 的分辨度概念扩展到多分层和不完全设计。经典结果作为推论出现：Cochran 的单分层恒等式；Yates 的裂区 $\mathrm{df}$；当效应不保留 $\mathrm{df}$ 时识别出的分辨度-$R$。对裂区和嵌套设计、区组分式析因设计选择实验的实证研究以及计时基准测试表明，我们的方法提供了校准的误差率，恢复了信息以在不增加额外运行的情况下将功效提高多达 60%，并且比基于自助法的 $\mathrm{df}$ 近似快几个数量级。