无约束 (-1,1) 二次分数优化的一个多项式可解情形

本文考虑如下形式的无约束 (-1,1) 二次分数优化问题：$\min_{x\in\{-1,1\}^n}~(x^TAx+\alpha)/(x^TBx+\beta)$，其中矩阵 $A$ 和 $B$ 由其非零特征值和对应特征向量给出，秩分别不超过固定整数 $r_a$ 和 $r_b$。我们证明了当 $A$ 仅含非正对角元、$B$ 仅含非负对角元时，该问题可通过加速牛顿-丁克尔巴赫方法在 $O(n^{r_a+r_b+1}\log^2 n)$ 时间内求解。此外，当 $A$ 有 $O(\log n)$ 个正对角元、$B$ 有 $O(\log n)$ 个负对角元时，该问题可在 $O(n^{r_a+r_b+2}\log^2 n)$ 时间内求解。