弦、鼓和量子台球谱 Zeta 函数的微扰方法

我们利用二项式定理向算子的推广，在微扰论的三阶精度下，获得了弦、鼓和量子台球的谱 Zeta 函数和热核的显式表达式。展开式中使用的微扰参数要么是参考域（例如正方形）的小变形，要么是密度围绕常数值的微小变化（在二维情况下这两种情形均适用）。即使在未微扰谱存在简并的情况下，该展开式也是良定义的。我们讨论了一维、二维和三维的几个例子，在某些情况下获得了级数的解析延拓，并随后用于评估相应的 Casimir 能量。对于具有分段常数密度且受不同边界条件约束的弦，以及半径非常接近的两个同心圆柱的情况，我们复现了先前发表的结果，从而对我们的方法进行了有用的检验。