凸、半定与扩展形式中全对偶整性的一种概念
最优化与控制
2018-01-30 v1 组合数学
摘要
全对偶整性是多面体组合与整数规划中一个强大且统一的概念，它使得由线性规划强对偶给出的几何极小极大关系能够被精炼为组合极小极大定理。全对偶整性（TDI）的定义围绕存在整的最优对偶解展开，因此自然适用于大量被表述为整数规划的组合优化问题，其 LP 松弛具有 TDI 性质。然而，当组合问题使用更一般的凸松弛（如半定规划（SDP））来表述时，对偶规划中合适的整性概念究竟是什么一点也不清楚，从而阻碍了该理论向更一般形式的结构化凸优化的推广。（事实上，我们认为通常加到 SDP 松弛中的秩一约束在对偶 SDP 中并不恰当。）在本文中，我们基于一种对 SDP 而言原对偶对称的“整性约束”，提出了一个推广 LP 相应概念的 SDP 全对偶整性概念。该理论的一个关键要素是将 Hoffman 关于多面体的结果推广到紧凸集，这对于推广由 Edmonds 和 Giles 引入的多面体全对偶整性概念是基础性的。我们研究了将相应理论应用于使用 Lovász theta 函数的图中稳定集的 SDP 表述，并表明此情形下的全对偶整性对应于底层图为完美图。我们还将最大割问题的 SDP 表述的对偶整性与二部图相联系。扩展形式的全对偶整性在此背景下自然发挥作用。
引用
@article{arxiv.1801.09155,
title = {A Notion of Total Dual Integrality for Convex, Semidefinite, and Extended Formulations},
author = {Marcel K. de Carli Silva and Levent Tunçel},
journal= {arXiv preprint arXiv:1801.09155},
year = {2018}
}