关于计算集合重叠类的注记

设 ${\cal V}$ 为一个包含 $n$ 个元素的有限集，${\cal F}=\{X_1,X_2, ..., X_m\}$ 为 ${\cal V}$ 的 $m$ 个子集构成的族。若 $X_i \cap X_j \neq \emptyset,$ $X_j \setminus X_i \neq \emptyset,$ 且 $X_i \setminus X_j \neq \emptyset,$ 则称 ${\cal F}$ 中的两个集合 $X_i$ 和 $X_j$ 重叠。若存在 ${\cal F}$ 中的一系列集合 $X=X_1,X_2, ..., X_k=Y$，使得其中每对相邻集合 $X_i, X_{i+1}$ 均重叠，则称 ${\cal F}$ 中的两个集合 $X,Y$ 属于同一个重叠类。在本注记中，我们专注于以 $O(n+\sum_{i=1}^m |X_i|)$ 的时间复杂度高效识别所有重叠类。为此，我们重新审视了 Dahlhaus 提出的巧妙算法，给出了清晰的表述并对其进行简化，使其在实际应用中具备可实现的最坏情况复杂度。此外，我们还解释了 Dahlhaus 方法的一个有用变体。