基于偏积分方程框架的 Galerkin 方法求解偏微分方程边界条件新处理
数值分析
2023-02-14 v5 数值分析
计算物理
摘要
我们提出了一种求解偏微分方程（PDEs）的新解析与数值框架，其基于一种精确变换，将边界约束移入相应控制方程的动力学中。该框架基于 PDE 的偏积分方程（PIE）表示，其中 PDE 方程被变换为等价的 PIE 形式，其解状态无需边界条件。PDE-PIE 框架允许发展一类广义的 PIE-Galerkin 逼近方法，适用于受非周期边界条件（包括例如 Dirichlet、Neumann 与 Robin 边界）支配的具有非常数系数的广泛线性 PDE 类。这一结果的意义在于，几乎任意线性 PDE 的解现在都可以基于合适基函数（例如第一类切比雪夫多项式）的级数展开以解析逼近的形式构造，而与边界条件无关。在许多涉及齐次或简单时变边界输入的情形中，时间上的解析积分也是可能的。我们给出了若干单空间变量的 PDE 求解实例，采用所发展的 PIE-Galerkin 方法实现，并在时间上同时使用解析与数值积分。所发展的框架可自然推广到多维空间，并有可能推广到非线性问题。
引用
@article{arxiv.2012.00163,
title = {A New Treatment of Boundary Conditions in PDE Solution with Galerkin Methods via Partial Integral Equation Framework},
author = {Yulia T. Peet and Matthew M. Peet},
journal= {arXiv preprint arXiv:2012.00163},
year = {2023}
}
备注
42 pages, 9 figures