边界处新的 Schwarz-Pick 引理及全纯映射的刚性

本文在 Burns-Krantz 边界 Schwarz 引理的精神下，针对单位圆盘上的共形伪度量和 $\mathbb C^N$ 中强凸域的全纯自映射，建立了（无穷小）Schwarz-Pick 引理的若干不变边界版本。首先，我们聚焦于单位圆盘情形，证明了带变曲率共形伪度量的一个一般边界刚性定理。在其最简情形中，该结果已包含 Schwarz-Pick、Ahlfors-Schwarz 和 Nehari-Schwarz 引理的新型边界版本。证明基于一个新的 Harnack 型不等式以及共形伪度量的边界 Hopf 引理，它们推广了 Golusin、Heins、Beardon、Minda 等人早先的内部刚性结果。其次，我们证明了共形伪度量序列的类似刚性定理，即便在内部情形看来也是新的。例如，获得了 Ahlfors 引理强形式的首个序列版本。作为辅助工具，我们建立了一个关于共形伪度量序列零点保持的 Hurwitz 型结果。第三，我们将一维序列边界刚性结果与时变复变量的多种技术相结合，证明了对于 $N>1$ 时 $\mathbb C^N$ 中强凸域全纯映射的 Schwarz-Pick 引理边界版本。