贪心 k-means++ 的近乎紧致分析

Arthur 与 Vassilvitskii [SODA 2007] 著名的 $k$-means++ 算法是实践中求解 $k$-means 问题最流行的方法。该算法非常简单：它均匀随机地采样第一个中心，随后每个后续的 $k-1$ 个中心始终按其与当前最近中心的平方距离成比例采样。之后运行 Lloyd 迭代算法。$k$-means++ 算法已知在期望下返回 $\Theta(\log k)$ 近似解。在其开创性工作中，Arthur 与 Vassilvitskii [SODA 2007] 询问了其如下\emph{贪心}变体的保证：在每一步中，我们采样 $\ell$ 个候选中心而非一个，然后选取使新代价最小的那个。这也是 $k$-means++ 在例如流行的 Scikit-learn 库 [Pedregosa et al.; JMLR 2011] 中的实现方式。我们给出贪心 $k$-means++ 近乎匹配的下界与上界：我们证明其是一个 $O(\ell^3 \log^3 k)$-近似算法。另一方面，我们证明一个 $\Omega(\ell^3 \log^3 k / \log^2(\ell\log k))$ 的下界。此前，仅知一个 $\Omega(\ell \log k)$ 的下界 [Bhattacharya, Eube, R\"oglin, Schmidt; ESA 2020]，且没有已知的上界。