多项式的矩比界及Krawchouk多项式与Hamming球的若干极值性质

设 $p \ge 2$。我们改进了布尔立方体 $\{0,1\}^n$ 上 $s$ 次多项式 $f$ 的界 $\frac{\|f\|_p}{\|f\|_2} \le (p-1)^{s/2}$（该界源于超收缩性），将此不等式右端替换为关于 $p$ 和 $s$ 的显式二元函数，该函数在任意 $p > 2$ 且 $s > 0$ 时小于 $(p-1)^{s/2}$。我们证明新界对 $s$ 次 Krawchouk 多项式在相差一个小阶因子意义下是紧的。这蕴含了 Krawchouk 多项式与 Hamming 球（等价地，Hamming 球冠）的若干近极值性质。特别地，Krawchouk 多项式在同次数与相同 $\ell_2$ 范数的所有多项式中具有（几乎）最重的尾部（这需谨慎理解）。Hamming 球具有以下近似边等周性质：对所有 $1 \le s \le \frac{n}{2}$ 以及所有偶数距离 $0 \le i \le \frac{2s(n-s)}{n}$，半径为 $s$ 的 Hamming 球在同等大小的集合中，包含至多 $O(i)$ 倍乘因子的尽可能多的距离为 $i$ 的点对（对一般距离有类似但稍弱且更复杂的断言）。这也意味着 Hamming 球在同等大小集合中关于噪声是（几乎）最稳定的。用编码理论术语说，即 Hamming 球（等价地 Hamming 球冠）在同码率的所有二进制码中具有最大的未检测错误概率。我们还描述了一族 $\{0,1\}^n$ 上函数的超收缩不等式，它通过考虑函数的集中性（表示为其 $\ell_r$ 范数之比）改进了“通常”的“$q \rightarrow 2$”不等式，并且对 Hamming 球的特征函数是近紧的。