瑞利-泰勒混合与界面翻转的一个模型

我们首先开发了一个用于双流体界面运动的新数学模型，该运动受二维流体中瑞利-泰勒（RT）不稳定性影响，其最简单形式为 $h_{tt}(\alpha,t) = A g\, \Lambda h - \frac{\sigma}{\rho^++\rho^-} \Lambda^3 h - A \partial_\alpha(H h_t h_t)$，其中 $\Lambda = H \partial_ \alpha$ 且 $H$ 表示希尔伯特变换。在这个所谓的 $h$-模型中，$A$ 是阿特伍德数（Atwood number），$g$ 是加速度，$\sigma$ 是表面张力，$\rho^\pm$ 表示两种流体的密度。在某一稳定性条件下，我们证明这个所谓的 $h$-模型既是局部适定的也是全局适定的。 $h$-模型的数值模拟表明，界面由于非线性可以快速增长，然后当轻流体在重流体之上且加速度向下时稳定。在不稳定情况下，即重流体由轻流体支撑，我们发现混合层增长与 Read of Youngs 的“火箭台”实验（rocket rig experiment）的实验数据吻合良好。然后我们推导了具有一般参数化 $z(\alpha,t)$ 的 RT 界面模型，使得 z_{tt}= \Lambda\bigg{[}\frac{A}{|\partial_\alpha z|^2}H\left(z_t\cdot (\partial_\alpha z)^\perp H(z_t\cdot (\partial_\alpha z)^\perp)\right) + A g z_2 \bigg{]} \frac{(\partial_\alpha z)^\perp}{|\partial_\alpha z|^2} +z_t\cdot (\partial_\alpha z)^\perp\left(\frac{(\partial_\alpha z_t)^\perp}{|\partial_\alpha z|^2}-\frac{(\partial_\alpha z)^\perp 2(\partial_\alpha z\cdot \partial_\alpha z_t)}{|\partial_\alpha z|^4}\right)。这个更一般的 RT $z$-模型允许界面翻转。 $z$-模型的数值模拟显示与“火箭台”实验预测的混合层增长甚至更好吻合。