用深度神经网络表示周期函数并严格强制周期边界条件的方法

我们提出了一种简单而有效的方法来表示周期函数，并在用深度神经网络（DNN）求解微分方程时严格强制周期边界条件。该方法源于关于涉及周期函数的函数复合的一些简单性质。它本质上将一个由 DNN 表示的任意函数与一组具有可调（训练）参数的独立周期函数进行复合。我们区分两类周期条件：一类对函数及其所有导数（至无穷阶）施加周期性要求，另一类对函数及其至有限阶 $k$（$k\geqslant 0$）的导数施加周期性。前者称为 $C^{\infty}$ 周期条件，后者称为 $C^{k}$ 周期条件。我们定义了构成 $C^{\infty}$ 周期层和 $C^k$ 周期层（对任意 $k\geqslant 0$）的运算。将 $C^{\infty}$（或 $C^k$）周期层作为第二层并入的深度神经网络自动且严格满足 $C^{\infty}$（或 $C^k$）周期条件。我们针对具有 $C^{\infty}$ 和 $C^k$ 周期边界条件的常微分方程和偏微分方程进行了大量数值实验，以验证并证明所提方法确实在机器精度上严格强制了 DNN 解及其导数的周期性。