与 Maxwell-Bloch 方程及其有限间隙解相关的矩阵 Baker-Akhiezer 函数
可精确求解与可积系统
2018-08-13 v3
摘要
Baker-Akhiezer（BA）函数理论于 1970 年代中期成功发展起来。该理论在几乎周期算子的谱理论以及完全可积非线性方程（如 Korteweg-de Vries 方程、非线性 Schrödinger 方程、sine-Gordon 方程、Kadomtsev-Petviashvili 方程）理论中带来了非常有趣且重要的结果。随后该理论被推广到 Ablowitz-Kaup-Newell-Segur（AKNS）族。然而，针对 Maxwell-Bloch（MB）系统或 Karpman-Kaup 方程的 Baker-Akhiezer 函数推广尚属未知，这些方程包含刻画主频率非均匀增宽的规定权函数。本文的主要目标是给出与 Maxwell-Bloch 方程相关的此类推广。利用在复平面上带有有限个割线的不同 Riemann-Hilbert 问题，我们提出这样一个矩阵函数，其具有单位行列式，并通过 Cauchy 积分、超椭圆积分和 theta 函数取显式形式。该矩阵 BA 函数求解 AKNS 方程（MB 系统的 Lax 对）并生成 Maxwell-Bloch 方程的拟周期有限间隙解。所提出的函数将有助于利用 Deift-Zhou 最速下降法研究 MB 方程不同初边值问题解的长时间渐近行为，以及研究 Maxwell-Bloch 方程的怪波。
引用
@article{arxiv.1802.01622,
title = {A Matrix Baker-Akhiezer Function Associated with the Maxwell-Bloch Equations and their Finite-Gap Solutions},
author = {Vladimir P. Kotlyarov},
journal= {arXiv preprint arXiv:1802.01622},
year = {2018}
}