容错量子计算空间开销的下界

阈值定理是容错量子计算理论中的基本结论，指出只要噪声水平低于某一常数，即可通过多对数开销执行任意长的量子计算。Fawzi、Grospellier 与 Leverrier（FOCS 2018）基于 Gottesman（QIC 2013）的结果表明，若仅考虑长度受宽度多项式界定的电路，则空间开销可渐近降至与电路无关的常数。本文中，我们使用量子容错的最小模型，建立了实现容错所需空间开销的一般下界。对于任意非酉量子比特信道 $\mathcal{N}$ 以及针对由 $\mathcal{N}$ 建模的 $\mathrm{i.i.d.}$ 噪声的任何量子容错方案，我们证明了对长度为 $T$、宽度为 $n$ 的电路，物理量子比特数的下界为 $\max\left\{\mathrm{Q}(\mathcal{N})^{-1}n,\alpha_\mathcal{N} \log T\right\}$。此处 $\mathrm{Q}(\mathcal{N})$ 表示 $\mathcal{N}$ 的量子容量，$\alpha_\mathcal{N}>0$ 为仅依赖于信道 $\mathcal{N}$ 的常数。在我们的模型中，允许在电路执行过程中用新量子比特替换旧量子比特，并允许经典计算免费且完美。这改进了那些假设经典计算也受噪声影响、且有时不允许加入新量子比特的结果。在此过程中，我们证明了振幅阻尼噪声下容错量子计算最大长度的指数上界，解决了 Ben-Or、Gottesman 与 Hassidim（2013）的一个猜想。