联合嵌入 Hanf 数的一个下界

在 [13] 中，作者证明若 $\mu$ 为强紧基数，$K$ 为抽象初等类（AEC）且 $LS(K)<\mu$，且 $K$ 在 $\mu$ 以下共尾地满足联合嵌入（合并），则 $K$ 在所有 $\ge \mu$ 的基数上满足联合嵌入（合并）。文中提出强紧上界是否最优的问题。本文证明存在一个 AEC $K$，可用可数词汇表中的 $\mathcal{L}_{\omega_1,\omega}$-句子公理化，使得若 $\mu$ 为第一个可测基数，则 (1) $K$ 在 $\mu$ 以下共尾地满足联合嵌入；(2) $K$ 在 $\mu$ 以下共尾地不满足联合嵌入；(3) $K$ 在 $\mu$ 以上满足联合嵌入。此外，该例子可推广至在大小为 $\chi$ 的词汇表中由 $\mathcal{L}_{\chi^+, \omega}$ 公理化的 AEC $K^\chi$，使得以 $\mu$ 为 $\chi$ 以上第一个可测基数时 (1)-(3) 成立。这证明联合嵌入的 Hanf 数落于第一个可测基数与第一个强紧基数之间的区间内。由于这两个基数可一致地重合，[13] 中的上界在一致意义下最优。这也是首个其联合嵌入谱（一致地）既非基数的初始区间也非最终区间的句子例子。由定理 3.26，可一致地存在：对第一个可测基数 $\mu$ 上的任意俱乐部集 $C$，JEP 恰在 $\lim C$ 及 $\mu$ 以上处处成立。