拥塞最短路径的局部到全局定理

Amiri 与 Wargalla（2020）在有向无环图（DAGs）中证明了如下局部到全局定理：若 $G$ 是加权 DAG，使得对每个含 3 个节点的子集 $S$ 都存在一条包含所有 $S$ 中节点的最短路径，则存在一对节点 $(s,t)$ 使得存在一条包含 $G$ 中每个节点的最短 $st$-路径。我们将该定理推广到一般图。对无向图，我们证明同一定理成立（常数 3 的差异除外）。对有向图，我们给出该定理（对任意常数）的反例，并证明该定理的往返类比：存在一对节点 $(s,t)$ 使得 $G$ 中每个节点都包含于一条最短 $st$-路径与一条最短 $ts$-路径的并集中。原 DAG 定理在 $k$-Shortest Paths with Congestion $c$（$(k,c)$-SPC）问题中有应用。该问题中，给定加权图 $G$、以及 $k$ 个节点对 $(s_1,t_1),\dots,(s_k,t_k)$ 和正整数 $c\leq k$。任务是寻找路径 $P_1,\dots, P_k$ 使得每条 $P_i$ 是从 $s_i$ 到 $t_i$ 的最短路径，且图中每个节点至多位于 $c$ 条路径 $P_i$ 上，或报告不存在这样的路径集合。当 $c=k$ 时，问题可通过独立为每个对 $(s_i,t_i)$ 找最短路径轻松解决。当 $c=1$ 时，$(k,c)$-SPC 问题退化为 $k$-Disjoint Shortest Paths（$k$-DSP）问题，其中最短路径集合必须节点不相交。对固定 $k$，$k$-DSP 在 DAG 与无向图上可在多项式时间内求解。先前工作表明 DAG 的局部到全局定理意味着当 $k-c$ 为常数时 DAG 上的 $(k,c)$-SPC 可解。同理，我们的工作意味着当 $k-c$ 为常数时无向图上的 $(k,c)$-SPC 可在多项式时间内求解。