一种针对本地差分隐私与对数提升的线性降损方法

本文考虑在保护相关敏感信息 $S$ 的同时发布数据 $X$ 的问题。我们提出一种线性方法，生成具有相同字母表 $\mathcal{Y} = \mathcal{X}$ 的净化数据 $Y$，同时实现本地差分隐私（LDP）与对数提升（log-lift）。研究表明，LDP 与对数提升均与条件概率 $P_{Y|S}(x|s)$ 和边缘概率 $P_{Y}(x)$ 之间的统计距离成反比：两个概率越接近，$Y$ 越隐私。指定 $P_{Y|S}(x|s)$ 使得该距离线性减小 $|P_{Y|S}(x|s) - P_Y(x)| = (1-\alpha)|P_{X|S}(x|s) - P_X(x)|,\forall s,x$（其中 $\alpha \in (0,1]$），我们研究如何从原始数据 $S$ 和 $X$ 生成 $Y$。Markov 随机化/净化方案 $P_{Y|X}(x|x') = P_{Y|S,X}(x|s,x')$ 通过求解线性方程得到。最优非 Markov 净化，即依赖于 $S$ 的转移概率 $P_{Y|S,X}(x|s,x')$，可通过在线性等式约束下最大化数据效用来确定。我们对两个线性效用函数给出解：期望距离与全变距离。结果表明，非 Markov 随机化显著提升了数据效用，且边际概率 $P_X(x)$ 在线性净化方法后保持不变：$P_Y(x) = P_X(x), \forall x \in \mathcal{X}$。