非布尔矩阵的 Ihara-Bass 公式及随机 CSP 的强反驳

我们定义了与任意对称矩阵相关联的一种新颖的“非回溯”矩阵概念，并证明了其一种“Ihara-Bass”型公式。我们利用该理论证明了关于含每约束 $k$ 个变量的随机约束满足问题（k-CSP）的多项式时间强反驳的新结果。对于一个由被 $p$ 比例的赋值所满足的约束构造的随机 k-CSP 实例，若其实例包含 $n$ 个变量和 $n^{k/2} / \epsilon^2$ 个约束，我们能有效计算一个证书，证明最优解至多满足 $p+O_k(\epsilon)$ 比例的约束。此前，这一结论对偶数 $k$ 已知，但对奇数 $k$ 需要 $n^{k/2} (\log n)^{O(1)} / \epsilon^2$ 个随机约束才能达到相同结论。尽管改进仅是多对数级别的，它克服了此类结果的一个重大障碍。基于现有方法的强反驳结果构造一个证书，证明与 k-CSP 实例相关的某矩阵是拟随机的。此类证书可来自 Feige-Ofek 型论证、Grothendieck 不等式的应用，或来自用迹论证获得的谱界。前两种方法需要并界，当约束数为 $o(n^{\lceil k/2 \rceil})$ 时无法奏效；第三种方法在约束数为 $o(n^{k/2} \sqrt{\log n})$ 时无法奏效。我们进一步应用我们的技术，在约束随机但符号模式对抗的半随机设定下，对含 $n^{k/2} / \epsilon^2$ 个约束的 $k$-CSP 实例获得了一个新的 PTAS 以寻找赋值。