受 Bhargava 的 $p$-序启发的一个贪心拟阵与一个拟阵

考虑一个有限集 $E$。假设每个 $e \in E$ 被赋予一个“权重” $w \left(e\right) \in \mathbb{R}$，且任意两个不同元素 $e, f \in E$ 被赋予一个“距离” $d \left(e, f\right) = d \left(f, e\right) \in \mathbb{R}$，使得距离满足超度量三角不等式 $d(a,b)\leqslant \max \left\{d(a,c),d(b,c)\right\}$。我们寻找给定大小的、具有最大周长的 $E$ 的子集（周长定义为所有元素及其两两距离权重之和）。我们证明，任一此类子集均可通过贪心算法找到（该算法从空集出发，随后逐次添加新元素，在每一步最大化周长）。我们利用此定义数值不变量，并证明所有大小的最大周长子集构成一个强贪心拟阵，而任意给定大小的最大周长子集是一个拟阵的基。这本质上推广了 Bhargava 为定义其广义阶乘所构造的“$P$-序”，并与 Moulton、Semple 和 Steel 所研究的系统发育树中最大多样性子集的强贪心拟阵相似。我们进一步讨论了源于此构造的 $E, w, d$ 的一些数值不变量，以及一个以最大周长元组（即元素可重复出现）替代最大周长子集的类似情形。