关于线性问题解集中的几何结构：基于离散集合概率的应用

当方程 $\mathbf{A}\mathbf{\xi}= \mathbf{y}$ 的解无约束时，随着 $\mathbf{y}$ 在 $\mathbb{R}^K$ 中变化，解集的描述是众所周知的。但当解需满足 $\mathbf{\xi} \in \mathcal{K}\prod_{i\leq j\leq N} [a_j,b_j]$ 时，其中 $a_j\leq b_j$ 为有限数：$1\leq j\leq N$，情况则不同。本文提供了解集作为约束集中参数化曲面描述，其中参数为来自相关优化问题中出现的拉格朗日乘子。拉格朗日乘子对数据向量 $\mathbf{y}$ 的依赖性决定了解随数据的变化而如何变化。解集上的几何结构继承自由目标函数（为费米-达尔类型熵）的 Hessian 在约束集上诱导的黎曼几何。我们证明，在由该熵定义的度量下，解集包含在 $\ker(\mathbf{A})^\perp$ 中。