用于无尺度网络的几何分形生长模型

我们引入了一个确定性模型，用于无尺度网络，其度分布遵循指数分布，指数为 $\gamma$。在每个时间步中，每个顶点生成其后代，后代数量与该顶点的度成正比，比例常数为 m-1（m>1）。我们考虑两种情况：首先，每种后代仅与其父节点相连，形成树结构；其次，它们与父节点和祖父节点都相连，形成环结构。我们发现两种模型在其度分布中都表现出幂律行为，指数为 $\gamma=1+\ln (2m-1)/\ln m$。因此，通过调节 m，可以在范围 $2 <\gamma < 3$ 内调整度指数。我们还解析地求解了树结构中两个顶点之间平均最短路径距离 d，显示出小世界行为，即 $d\sim \ln N/\ln {\bar k}$，其中 N 为系统规模，$\bar k$ 为平均度。最后，我们考虑后代数量对所有顶点相同的情况，发现度分布 exhibits 指数衰减行为。