有限 $\alpha$ 阶矩假设（$\alpha \in (1,2)$）下的广义 Catoni ${\rm M}$-估计量

我们将 Catoni 在其开创性论文 [C12] 中提出的 ${\rm M}$-估计量推广到样本可具有有限 $\alpha$ 阶矩且 $\alpha \in (1,2)$ 而非有限方差的情形，我们的方法是对其中的影响函数 $\varphi$ 稍作修改。新影响函数的选取受 [C-N-X] 中发展的类泰勒展开启发。我们得到了该估计量的偏差界，当 $\alpha \rightarrow 2$ 时，此界与 [C12] 中相同。实验表明，我们的广义 ${\rm M}$-估计量优于经验均值估计量，$\alpha$ 越小，性能越好。作为应用，我们研究了 Zhang 等人 [Z-Z] 考虑的 $\ell_{1}$ 回归，其假设样本具有有限方差，我们将该假设放宽至有限 $\alpha$ 阶矩且 $\alpha \in (1,2)$。