具有幂零无穷小的 Cantor-Dedekind 连续统的推广

我们引入了具有显式无穷小的 Cantor-Dedekind 连续统的推广。这些无穷小被用作遵循与广义连续统中其他元素相同基本规则的数，符合 Leibniz 的原始直觉，但有一个重要区别：它们的乘积为零，正如荷兰神学家 Bernard Nieuwentijt 所主张的那样，这与 Leibniz 的观点相悖。出发点是影子 (shadow) 的概念，由此我们定义了不可分辨性（核心概念）和单子 (monad)。点的单子具有全局-局部性质，因为尽管它们是与整个广义连续统具有相同基数的无限维实仿射空间，但它们是长度为 0 的闭区间。单子和影子（最初为点定义）随后被扩展到新连续统的任意子集，它们的研究揭示了集合论和拓扑学领域中有趣的保持结果。所有这些概念不依赖于新连续统中极限的定义；然而，利用它们我们获得了微分学的基本结果。最后，我们给出了两个例子，说明实数单子的全局-局部性质如何应用于某些奇点的微分处理。