三维距离定理的一个推广

设$P$为正有理数。称函数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$具有$\textit{模}$$P$的有限间隔性质，若满足如下条件：对任意正无理数$\alpha$和正整数$M$，将$f(m\alpha)$（$1\leq m\leq M$）的值模$P$放入区间$[0,P)$并按递增顺序排列时，相邻项之间不同间隔的个数以一个仅依赖于$f$的常数$k_{f}$为界。在本注记中，我们证明了Chung与Graham的三维距离定理的一个推广。作为推论，我们证明具有有理斜率且仅有有限个不可微点的分段线性映射具有模$P$的有限间隔性质。我们还证明，若$f$为到最近整数的距离函数，则它具有模$1$的有限间隔性质且$k_f\leq6$。