二部图中半匹配与覆盖的Hopcroft-Karp算法推广（二部图中的最大半匹配问题）

二部图$G=(U \cup V,E)$中的一个$(f,g)$-半匹配是边集$M \subseteq E$，使得每个顶点$u\in U$至多与$M$中的$f(u)$条边关联，每个顶点$v\in V$至多与$M$中的$g(v)$条边关联。本文给出一个算法，对于具有$n$个顶点和$m$条边（$n\le m$）的图，该算法能在$O(m\cdot \min (\sqrt{\sum_{u\in U}f(u)}, \sqrt{\sum_{v\in V}g(v)}))$时间内构造一个最大$(f,g)$-半匹配。利用文献[5]的归约，我们关于最大$(f,g)$-半匹配问题的结果直接导出一个最优半匹配问题的算法，其运行时间为$O(\sqrt{n}m \log n)$。