一种带权方法求解最大基数二分匹配问题及其在几何场景中的应用

我们提出一种带权方法来计算任意二分图中的最大基数匹配。我们的主要结果是一个新算法，它以边权为 $0$ 或 $1$ 的带权二分图 $G(A\cup B,E)$ 作为输入。令 $w \leq n$ 为 $G$ 中任意匹配的权值上界。考虑由 $G$ 中所有权值为 $0$ 的边所诱导的子图。假设该子图中每个连通分支有 $\mathcal{O}(r)$ 个顶点和 $\mathcal{O}(mr/n)$ 条边。我们提出一种算法，在 $\tilde{\mathcal{O}}( m(\sqrt{w}+ \sqrt{r}+\frac{wr}{n}))$ 时间内计算 $G$ 中的最大基数匹配。当所有边权均为 $1$（对称地，当所有权值均为 $0$）时，我们的算法将与著名的 Hopcroft-Karp (HK) 算法一致，其运行时间为 $\mathcal{O}(m\sqrt{n})$。然而，如果我们可以在其边上仔细分配 $0$ 和 $1$ 的权值，使得 $w$ 和 $r$ 均为 $n$ 的次线性且 $wr=\mathcal{O}(n^{\gamma})$（$\gamma < 3/2$），那么我们能在 $o(m\sqrt{n})$ 时间内计算 $G$ 中的最大基数匹配。利用我们的算法，我们得到一个 $\tilde{\mathcal{O}}(n^{4/3}/\varepsilon^4)$ 时间的新算法来计算 $A,B\subset\mathbb{R}^2$ 的 $\varepsilon$-近似瓶颈匹配，以及一个 $\frac{1}{\varepsilon^{\mathcal{O}(d)}}n^{1+\frac{d-1}{2d-1}}\mathrm{poly}\log n$ 时间的算法来计算 $d$ 维中的 $\varepsilon$-近似瓶颈匹配。此前所有算法均需 $\Omega(n^{3/2})$ 时间。给定任意图 $G(A \cup B,E)$，其每个大小为 $|V'|^{\delta}$（$\delta\in [1/2,1)$）的子图 $G'(V',E')$ 具有易计算的平衡顶点分隔符，我们可应用我们的算法在 $\tilde{\mathcal{O}}(mn^{\frac{\delta}{1+\delta}})$ 时间内计算最大匹配，改进了 HK 算法所需的 $\mathcal{O}(m\sqrt{n})$ 时间。