正则二分图中\~O(n^{1.5})时间内的完美匹配
数据结构与算法
2009-07-30 v2 离散数学
摘要
我们考虑了在具有2n个顶点和m = nd条边的d-正则二分图中寻找完美匹配这一经典问题。虽然一般二分图的最佳已知算法(Hopcroft-Karp算法)需要O(m √n)时间,但在正则二分图中,已知可在O(m)时间内计算出完美匹配。最近,O(m)界限被改进为期望时间O(min{m, n^{2.5} ln n / d}),该表达式受限于Õ(n^{1.75})。在本文中,我们进一步改进了这一结果,给出了一个期望时间O(min{m, n^2 ln^3 n / d})的算法,用于在正则二分图中寻找完美匹配;仅作为n的函数,该算法期望时间为O((n ln n)^{1.5})。为获得此结果,我们设计并分析了一个两阶段采样方案,该方案将正则二分图中寻找完美匹配的问题简化为一个具有O(n ln n)条边且高概率存在完美匹配的子采样二分图上的相同问题。然后使用Hopcroft-Karp算法恢复匹配。虽然Hopcroft-Karp的标准分析给出了Õ(n^{1.5})的运行时间,但我们针对我们的特殊情况给出了更紧的分析,从而得到了前面提到的更强的Õ(min{m, n^2 / d})时间。我们对该采样方案正确性的证明使用了一个新的对应定理,该定理联系了二分图中完美匹配的割集与Hall定理的“见证者”。我们相信这个定理可能具有独立意义;作为另一个应用实例,我们证明,在一个具有m个非零元素的n × n双随机矩阵的支持集中,可以在期望时间Õ(m + n^{1.5})内找到一个完美匹配。
引用
@article{arxiv.0902.1617,
title = {Perfect Matchings in \~O(n^{1.5}) Time in Regular Bipartite Graphs},
author = {Ashish Goel and Michael Kapralov and Sanjeev Khanna},
journal= {arXiv preprint arXiv:0902.1617},
year = {2009}
}
备注
Added analysis of the Hopcroft-Karp algorithm on the subsampled graph