非线性动力学中非自治阴影性的通用处理方法

在任意 Banach 空间 $X$ 上，给定非自治非线性微分方程 \begin{equation}\label{DE} x'=A(t)x+f(t,x) \quad t\geq 0, \end{equation}，我们针对关联线性方程 $x'=A(t)x$ 以及非线性项 $f:[0,+\infty)\times X\to X$ 给出了非常一般的条件，在上述系统满足适当版本的阴影性质（shadowing property）时成立。更确切地说，我们要求 $x'=A(t)x$ 容许一种非常一般的二分性（dichotomy），它将经典的双曲行为作为极特殊的情形包含在内。此外，我们要求 $f$ 关于第二个变量是 Lipschitz 的，且 Lipschitz 常数充分小。我们的通用框架使我们能够处理此前未获得任何阴影性结果的多种情形。而且，我们能够复原并改进若干已知结果。我们还展示了如何将主要结果应用于高阶微分方程阴影性质的研究。最后，我们通过给出结果的离散时间版本来结束本文。