关于大交集集的 Frostman 型引理及其在丢番图逼近中的应用

我们考虑 $[0,1]$ 子集的类 $\mathscr{G}^s ([0,1])$，该类最初由 Falconer 引入，其在可数交集下封闭，且类中的每个集的 Hausdorff 维数至少为 $s$。我们提供了一个 Frostman 型引理来确定一个 limsup-集是否属于此类。假设 $E = \limsup E_n \subset [0,1]$，且 $\mu_n$ 是支撑在 $E_n$ 中的概率测度。如果存在常数 $C$ 使得对于所有 $n$ 有 $$\iint|x-y|^{-s}\, \mathrm{d}\mu_n(x)\mathrm{d}\mu_n(y)<C$$，那么在序列 $(\mu_n)$ 的极限测度的适当条件下，我们证明集 $E$ 属于类 $\mathscr{G}^s ([0,1])$。作为一个应用，我们证明了对于 $\alpha > 1$ 和几乎所有的 $\lambda \in (\frac{1}{2},1)$，集 $$E_\lambda(\alpha) = \{\,x\in[0,1] : |x - s_n| < 2^{-\alpha n} \text{infinitely often}\ \}$$（其中 $s_n \in \{\,(1-\lambda)\sum_{k=0}^na_k\lambda^k$ 且 $a_k\in\{0,1\}\,\}$）属于 $s \leq \frac{1}{\alpha}$ 的类 $\mathscr{G}^s$。这改进了我们之前的一个结果。