一种基于快速分解的鲁棒 PCA 方法

鲁棒主成分分析（RPCA）已广泛应用于许多数据挖掘和机器学习问题中的低秩矩阵恢复。它将数据矩阵分解为低秩部分和稀疏部分。文献中已对凸方法进行了充分研究。然而，由于需要求解大矩阵的（部分）奇异值分解，凸方法的 SOTA 算法通常具有较高的复杂度。此外，也提出了一种非凸方法 AltProj，其复杂度更低且可扩展性更好。在给定底层低秩矩阵真实秩 $r$ 的情况下，AltProj 的复杂度为 $O(r^2dn)$，其中 $d\times n$ 为数据矩阵的尺寸。在本文中，我们提出了一种新颖的基于分解的 RPCA 模型，其复杂度为 $O(kdn)$，其中 $k$ 为真实秩的上界。我们的方法不需要真实秩的精确值。从大量实验中我们观察到，AltProj 仅在事先精确已知 $r$ 时才能奏效；然而，当所需的秩参数 $r$ 被设定为与真实秩不同的值时，AltProj 无法完全分离这两部分，而我们的方法依然成功。即使在两者均有效的情况下，我们的方法也比 AltProj 快约 4 倍。在缺乏真实秩精确值的情况下，我们的方法可作为 RPCA 的一种轻量级、可扩展工具。